Nombres abondants

Nombres dont la somme des diviseurs propres dépasse le nombre lui-même

Un nombre abondant est un nombre naturel dont la somme des diviseurs propres (tous les diviseurs sauf le nombre lui-même) est supérieure au nombre. Par exemple, 12 est abondant car ses diviseurs propres sont 1, 2, 3, 4, 6 et leur somme (16) est supérieure à 12. L'« abondance » de 12 est 16 − 12 = 4.

Classification des nombres par leurs diviseurs

Selon la relation entre un nombre et la somme de ses diviseurs propres, les nombres naturels se classent en trois catégories :

Déficient

Somme des diviseurs < n

Ejemplo: 8
Divisores: 1 + 2 + 4 = 7 < 8
Parfait

Somme des diviseurs = n

Ejemplo: 6
Divisores: 1 + 2 + 3 = 6
Abondant

Somme des diviseurs > n

Ejemplo: 12
Divisores: 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 > 12

Propriétés des nombres abondants

Les nombres abondants possèdent plusieurs propriétés intéressantes qui les distinguent en théorie des nombres :

Premier abondant Le premier nombre abondant est 12
Multiples Tout multiple d'un nombre abondant est également abondant
Somme de deux abondants Tout nombre supérieur à 20.161 peut s'exprimer comme somme de deux nombres abondants
Proportion Environ 25 % des nombres naturels sont abondants
Pairs abondants Tous les nombres pairs supérieurs à 46 sont abondants (et beaucoup d'autres avant aussi)
Plus petit impair abondant Le plus petit nombre impair abondant est 945

L'abondance d'un nombre

L'abondance d'un nombre n est définie par A(n) = σ(n) − 2n, où σ(n) est la somme de tous les diviseurs de n (y compris n lui-même). Si A(n) > 0, le nombre est abondant. On peut aussi la calculer comme la somme des diviseurs propres moins n.

Nombre Diviseurs propres Somme Abondance
12 1, 2, 3, 4, 6 16 +4
18 1, 2, 3, 6, 9 21 +3
20 1, 2, 4, 5, 10 22 +2
24 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 36 +12
30 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 42 +12
36 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 55 +19
40 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 50 +10
48 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 76 +28
60 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 108 +48
70 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35 74 +4

Nombres superabondants

Un nombre n est superabondant si le rapport σ(n)/n est supérieur à σ(m)/m pour tout m < n, où σ(n) est la somme de tous les diviseurs de n. Autrement dit, ce sont les nombres qui « battent le record » du rapport entre la somme des diviseurs et le nombre lui-même.

Les premiers nombres superabondants sont :

1 2 4 6 12 24 36 48 60 120 180 240 360 720 840 1.260

On remarque que de nombreux nombres superabondants sont hautement composés (ils ont beaucoup de diviseurs), comme 12, 24, 60, 120, 360 ou 720. Ces nombres apparaissent fréquemment dans les systèmes de mesure (12 heures, 60 minutes, 360 degrés) précisément en raison de leur grand nombre de diviseurs.

Les 80 premiers nombres abondants

Cliquez sur n'importe quel nombre pour explorer toutes ses propriétés mathématiques :

12 18 20 24 30 36 40 42 48 54 56 60 66 70 72 78 80 84 88 90 96 100 102 104 108 112 114 120 126 132 138 140 144 150 156 160 162 168 174 176 180 186 192 196 198 200 204 208 210 216 220 222 224 228 234 240 246 252 258 260 264 270 272 276 280 282 288 294 300 304 306 308 312 318 320 324 330 336 340 342

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