Nombres palindromes
Nombres qui se lisent de la même façon de gauche à droite et de droite à gauche
Un nombre palindrome est un nombre qui se lit de la même manière dans les deux sens. Par exemple, 121, 1331 et 12321 sont des palindromes. Le terme vient du grec « palin » (à nouveau) et « dromos » (chemin), littéralement « parcourir à nouveau le chemin ».
Propriétés mathématiques des palindromes
Les nombres palindromes suivent des schémas fascinants en termes de distribution :
- Tous les nombres à 1 chiffre (1-9) sont des palindromes : il y en a 9 au total.
- Il y a 9 palindromes à 2 chiffres : 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99.
- Il y a 90 palindromes à 3 chiffres : de 101 à 999 (le premier chiffre détermine le dernier, et celui du milieu peut être quelconque : 9 × 10).
- Il y a 90 palindromes à 4 chiffres : de 1001 à 9999 (les deux premiers chiffres déterminent les deux derniers : 9 × 10).
- Il y a 900 palindromes à 5 chiffres et 900 à 6 chiffres.
En général, le nombre de palindromes à n chiffres suit le schéma : 9 × 10⌊(n-1)/2⌋. Cela signifie que les palindromes deviennent proportionnellement plus rares à mesure que les nombres augmentent, mais ils restent infinis.
Premiers palindromes
Certains nombres palindromes sont également premiers, ce qui les rend doublement spéciaux. Le seul premier palindrome pair est le 11 (car tout autre palindrome pair se terminerait par un chiffre pair et serait donc divisible par 2).
Les premiers nombres premiers palindromes sont :
On ignore s'il existe une infinité de premiers palindromes, bien qu'on le conjecture. Les plus grands premiers palindromes connus comptent des centaines de milliers de chiffres et sont trouvés grâce à des techniques computationnelles avancées.
Le problème 196
L'un des problèmes ouverts les plus célèbres des mathématiques récréatives est le problème 196 (aussi appelé « problème de Lychrel »). Le procédé est simple : prendre un nombre, inverser ses chiffres et additionner les deux. Répéter jusqu'à obtenir un palindrome.
La plupart des nombres atteignent un palindrome en peu d'étapes :
Le nombre 196 a été testé jusqu'à plus d'un milliard de chiffres sans jamais atteindre un palindrome. On pense qu'il n'y parviendra jamais, mais personne n'a pu le démontrer formellement. C'est l'un des problèmes ouverts les plus simples à formuler mais les plus difficiles à résoudre de toutes les mathématiques.
Palindromes de 1 à 500
Tous les nombres palindromes entre 1 et 500. Cliquez sur n'importe lequel pour explorer ses propriétés mathématiques :
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