Numéros



Qu'est-ce qu'un nombre ?

Un nombre en mathématiques est le mot ou le symbole utilisé pour désigner des quantités ou des entités qui se comportent comme des quantités.

Un nombre en mathématiques est le mot ou le symbole utilisé pour désigner des quantités ou des entités qui se comportent comme des quantités.

Les nombres sont regroupés en divers ensembles ou structures ; chacun contient celui qui le précède et est plus complet que lui et avec de plus grandes possibilités dans ses opérations. Ils sont énumérés ci-dessous.

C'est la notion mathématique d'importance fondamentale, introduite plus ou moins consciemment depuis l'antiquité, afin de pouvoir opérer sur des quantités d'éléments constituant des ensembles ou sur des quantités exprimant des mesures d'entités matérielles. De nombreux ensembles numériques peuvent être introduits de manière axiomatique avec les opérations correspondantes, comme les particularités algébriques et topologiques. Vice versa, on peut procéder de manière constructive, en introduisant des ensembles numériques successivement plus grands.

Types de nombres : brève introduction

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Les nombres naturels 1, 2, 3,... sont introduits comme cardinaux ou comme ordinaux, c'est-à-dire comme des entités en mesure de représenter l'ordre des ensembles finis et les positions des suites (axiomes de Peano) ; zéro est introduit comme l'ordre de l'ensemble vide. 

Zéro et les nombres naturels constituent l'ensemble des nombres non négatifs. Les nombres négatifs sont introduits comme les inverses des nombres positifs par rapport à l'addition, et afin de pouvoir effectuer une soustraction sans restriction. 

Les nombres rationnels sont introduits afin de pouvoir effectuer des divisions non restreintes. L'extension aux nombres algébriques est faite pour garantir l'existence des zéros des polynômes à coefficients entiers. 

Les nombres réels sont introduits afin de pouvoir effectuer avec un minimum de restrictions les opérations passant à la limite. 

Enfin, le champ réel est étendu à celui des nombres complexes afin de garantir l'existence de n racines pour chaque polynôme de degré n.

La théorie des nombres complexes est utilisée dans le cadre de l'étude de l'existence de n racines.

- Les polynômes à coefficients entiers sont introduits afin que les opérations puissent être effectuées avec des restrictions minimales de passage à la limite.

- Nombre de Fermat : Tout nombre de la forme 22n+1, pour chaque n=1,2,3, .... Il a été démontré que la première conjecture de son auteur, selon laquelle ces nombres étaient tous premiers, n'est pas vraie.

- Nombre parfait : nombre entier positif égal à la somme de ses diviseurs positifs, à l'exclusion de lui-même. On ne sait pas s'il existe des nombres impairs parfaits.

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- Nombre polygonal : nombre naturel de la suite n0 = 1, n1 ... nr ... où nr = nr-1 + (m-2)r +1, où m est un entier naturel supérieur à deux. Pour m = 3,4,5..., on obtient les nombres triangulaires, quadrangulaires, pentagonaux..... Le nombre nr est le nombre de points marqués dans un schéma géométrique formé respectivement de triangles, de carrés, de pentagones....

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- Nombre transfini : nombre cardinal qui n'est pas entier.

- Nombre transcendant : nombre qui n'est pas la racine de toute équation algébrique à coefficients rationnels.

- Nombre triangulaire : nombre naturel de la suite n0 = 1, n1 ... nr ... dans laquelle nr = nr-1 + r +1, . Le nombre nr est le nombre de points marqués dans un schéma géométrique formé avec des triangles.

- Nombres amicaux : paire d'entiers positifs tels que la somme des diviseurs positifs de chaque nombre inférieur à lui-même est égale à l'autre nombre.

- Nombres pythagoriciens : triade d'entiers positifs telle que le carré de l'un d'eux est égal à la somme des carrés des deux autres. Si les longueurs des deux côtés d'un triangle sont entières et pythagoriciennes, le triangle est rectangle.

Les nombres naturels

Ce sont ceux que l'on utilise pour compter les éléments des ensembles :

N = {0, 1, 2, 2, 3,..., 9, 10, 11, 11, 12,...}

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Il y a des infinis. Elles peuvent être additionnées et multipliées et, avec ces deux opérations, le résultat est, dans tous les cas, un nombre naturel. En revanche, elles ne peuvent pas toujours être soustraites ou divisées (ni 3 - 7 ni 7 : 4 ne sont des nombres naturels).

Les nombres entiers

Ce sont les nombres naturels et les négatifs correspondants :

Z = {..., -11, -10, -9,..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,..., 9, 10, 11,...}

En plus de pouvoir être additionnés et multipliés dans tous les cas, ils peuvent être soustraits, donc cette structure améliore celle des naturels. Cependant, en général, deux entiers ne peuvent pas être divisés. C'est pourquoi nous passons à la structure numérique suivante.

Nombres rationnels

Ce sont ceux qui peuvent être exprimés comme un quotient de deux nombres entiers. L'ensemble Q des nombres rationnels est composé des nombres entiers et des nombres fractionnaires. Ils peuvent être additionnés, soustraits, multipliés et divisés (sauf par zéro) et le résultat de toutes ces opérations entre deux nombres rationnels est toujours un autre nombre rationnel.

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Les nombres réels

Contrairement aux nombres naturels et aux nombres entiers, les nombres rationnels ne sont pas disposés de telle sorte qu'on puisse les ordonner un par un. C'est-à-dire qu'il n'y a pas de nombre rationnel "suivant", car entre deux nombres rationnels quelconques, il en existe une infinité d'autres, de sorte que s'ils sont représentés sur une ligne, celle-ci est densément occupée par eux : si l'on prend un morceau de ligne, un segment, aussi petit soit-il, contient une infinité de nombres rationnels. Cependant, entre ces nombres densément situés sur la ligne, il existe aussi une infinité d'autres points qui ne sont pas occupés par des rationnels. Ce sont les nombres irrationnels.

L'ensemble formé par tous les nombres rationnels et irrationnels est l'ensemble des nombres réels, de sorte que tous les nombres mentionnés jusqu'ici (naturels, entiers, rationnels, irrationnels) sont réels. Ces nombres occupent la droite numérique point par point, elle est donc appelée droite réelle.

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Les mêmes opérations sont définies parmi les nombres réels que parmi les rationnels (addition, soustraction, multiplication et division, sauf pour le zéro).

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Les nombres imaginaires

Le produit d'un nombre réel par lui-même est toujours 0 ou positif, ainsi l'équation x2 = -1 n'a pas de solution dans le système des nombres réels. Si l'on veut donner une valeur à x, telle que x = Á, il ne peut s'agir d'une valeur réelle, non plus au sens mathématique mais aussi au sens technique. Un nouvel ensemble de nombres (différent de celui des nombres réels), celui des nombres imaginaires, est utilisé à cet effet. Le symbole i représente l'unité des nombres imaginaires et est équivalent à Á. Ces nombres permettent de trouver, par exemple, la solution de l'équation , qui peut s'écrire comme suit

x = 3 × i ou x = 3i


Les nombres bi,b ≠ 0, sont appelés nombres imaginaires purs.

Un nombre imaginaire est obtenu par l'addition d'un nombre réel et d'un nombre imaginaire pur.

Les nombres complexes

Dans sa forme générale, un nombre complexe est représenté par a+ bi, où a et b sont des nombres réels. L'ensemble des nombres complexes est constitué de tous les nombres réels et de tous les nombres imaginaires.

Les nombres complexes sont généralement représentés dans le diagramme dit d'Argand. Les parties réelles et imaginaires d'un nombre complexe sont placées comme des points sur deux lignes ou axes perpendiculaires. De cette façon, un nombre complexe est représenté comme un seul point sur un plan, connu sous le nom de plan complexe.

Les nombres complexes sont d'une grande utilité dans la théorie du courant électrique alternatif ainsi que dans d'autres branches de la physique, de l'ingénierie et des sciences naturelles.

Les nombres complexes sont également utiles dans la théorie du courant électrique alternatif ainsi que dans d'autres branches de la physique, de l'ingénierie et des sciences naturelles.

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