Nombres triangulaires
Nombres qui forment des triangles parfaits avec des points
Les nombres triangulaires sont ceux qui peuvent être représentés sous la forme d'un triangle équilatéral de points. Le n-ième nombre triangulaire s'obtient en additionnant les n premiers nombres naturels : 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55... La formule est T(n) = n(n+1)/2.
Visualisation
Les premiers nombres triangulaires peuvent être représentés graphiquement sous forme de triangles de points :
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La formule : T(n) = n(n+1)/2
Il existe une célèbre anecdote à propos du mathématicien Carl Friedrich Gauss. Lorsqu'il était enfant, son professeur demanda à la classe d'additionner tous les nombres de 1 à 100, espérant les occuper un bon moment. Cependant, le jeune Gauss trouva la réponse en quelques secondes.
L'astuce de Gauss :
Il observa que les nombres peuvent être appariés depuis les extrémités :
Il y a 50 paires, chacune donnant 101, donc le total est 50 × 101 = 5.050.
Généralisé : T(n) = n(n+1)/2
Propriétés des nombres triangulaires
- Théorème eurêka de Gauss : Tout nombre naturel est la somme d'au plus 3 nombres triangulaires.
- Carrés parfaits : T(n) + T(n−1) = n². Deux nombres triangulaires consécutifs donnent toujours un carré parfait.
- Relation avec les carrés : 8·T(n) + 1 est toujours un carré parfait. Par exemple : 8×6 + 1 = 49 = 7².
- Somme des triangulaires : La somme des n premiers nombres triangulaires est n(n+1)(n+2)/6, ce sont les nombres tétraédriques.
Relation avec d'autres nombres
Les nombres triangulaires ont des connexions fascinantes avec d'autres types de nombres :
- Triangulaires et carrés : Certains nombres triangulaires sont aussi des carrés parfaits : 1, 36, 1.225, 41.616...
- Palindromes triangulaires : Certains nombres triangulaires sont aussi des palindromes, comme 1, 3, 6, 55, 66, 171, 595...
- Triangle de Pascal : Les nombres triangulaires apparaissent dans la troisième diagonale du triangle de Pascal (les coefficients binomiaux C(n,2)).
Les 20 premiers nombres triangulaires
Tableau avec l'indice n et le nombre triangulaire T(n) correspondant :
Les 50 premiers nombres triangulaires
Cliquez sur n'importe quel nombre triangulaire pour voir son analyse complète :
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