Nombres narcissiques
Des nombres égaux à la somme de leurs propres chiffres, chacun élevé à la puissance du nombre de chiffres
Un nombre narcissique (aussi appelé nombre d'Armstrong ou invariant digital pluperfect) est un nombre égal à la somme de ses propres chiffres, chacun élevé à la puissance du nombre de chiffres. Par exemple, 153 = 13 + 53 + 33 = 1 + 125 + 27 = 153. Ces nombres autoréférentiels sont rares et fascinants — en base 10, il n'en existe que 88.
Comment identifier un nombre narcissique
Pour vérifier si un nombre est narcissique : comptez ses chiffres (appelons cela n), élevez chaque chiffre à la puissance n et additionnez les résultats. Si la somme est égale au nombre original, il est narcissique. Voici quelques exemples :
Liste complète par nombre de chiffres
Les nombres narcissiques sont rares. Voici l'inventaire complet organisé par nombre de chiffres :
Au total, il existe exactement 88 nombres narcissiques en base 10. Le plus grand a 39 chiffres. Au-delà, la somme maximale possible des puissances des chiffres ne peut pas atteindre le nombre lui-même, donc il ne peut pas en exister davantage.
Propriétés des nombres narcissiques
Histoire et étymologie
Le nom "nombre narcissique" a été inventé par le mathématicien D. H. Lehmer en référence à des nombres fixés sur eux-mêmes, comme le mythologique Narcisse. Ils sont aussi appelés nombres d'Armstrong d'après Michael F. Armstrong, qui les a introduits dans un devoir de 1969 pour des étudiants en informatique à l'Université de Rochester. L'OEIS (Encyclopédie en ligne des suites de nombres entiers) les répertorie comme suite A005188.
Nombres narcissiques jusqu'à 10.000
Cliquez sur n'importe quel nombre narcissique pour voir son analyse mathématique complète.
Grands nombres narcissiques
Au-delà des petits exemples, les nombres narcissiques croissent rapidement en taille. Voici quelques spécimens notables plus grands avec leurs décompositions en puissances de chiffres :
Le saviez-vous
- The largest narcissistic number is 4,679,307,774 (10 digits)—no 11-digit narcissistic numbers exist, and none beyond. This complete enumeration (only 88 total in base 10) was computationally verified. The upper bound emerges from growth rate analysis: for large n, the maximum digit sum power (9^n) grows too slowly compared to minimum n-digit number (10^(n-1)), making narcissistic numbers impossible beyond n=10.
- The single 6-digit narcissistic number (548834) is isolated—no nearby numbers share the property. This clustering pattern (some digit lengths containing multiple narcissistics, others none) remains unexplained mathematically. Understanding why clustering occurs at certain digit lengths remains an open question.
- Kaprekar numbers (1 and 9) are sometimes confused with narcissistic numbers, though they follow completely different definitions. A Kaprekar number produces itself through splitting and recombining squared digits. The conceptual similarity leads some to study generalizations combining both properties.
- In base 3, narcissistic numbers exist with different frequencies than base 10. The number 153 in decimal equals specific values in other bases but may not be narcissistic there. This base-dependence reveals how narcissistic properties depend on positional representation rather than intrinsic number characteristics.
- The narcissistic number 9,800,817 (7 digits) equals 9⁷+8⁷+0⁷+0⁷+8⁷+1⁷+7⁷ = 4,782,969 + 2,097,152 + 0 + 0 + 2,097,152 + 1 + 823,543 = 9,800,817. Manual verification of large narcissistics is tedious—computers enable easy verification but discovery requires exhaustive search given their rarity.
Preguntas Frecuentes
What exactly is a narcissistic number?
A narcissistic number is an n-digit number equaling the sum of its digits each raised to the nth power. For 3-digit example 153: 1³+5³+3³ = 1+125+27 = 153 (matches original). The definition requires exactly n digits raised to power n. For 4-digit number 1634: 1⁴+6⁴+3⁴+4⁴ = 1+1296+81+256 = 1634. The single-digit numbers (1-9) are trivially narcissistic: 1¹=1, 2¹=2, etc. Two-digit numbers have no narcissistics—no 2-digit number equals digit sum squared. The definition depends on digit count—changing representation (like leading zeros) would alter narcissistic status. This makes narcissistic property representation-dependent, connected to base-10 choice. The self-referential nature—number equaling function of its own digits—inspired the "narcissistic" terminology (self-loving). The mathematical elegance of this property attracted mathematical interest despite lacking practical application.
How many narcissistic numbers exist in total?
Exactly 88 narcissistic numbers exist in base 10 across all digit lengths: nine 1-digit numbers (1-9), zero 2-digit numbers, four 3-digit numbers (153, 370, 371, 407), three 4-digit numbers (1634, 8208, 9474), five 5-digit numbers, one 6-digit number, eight 7-digit numbers, two 8-digit numbers, four 9-digit numbers, and one 10-digit number. No 11-digit or larger narcissistic numbers exist—proven through exhaustive computational search. The completeness of this enumeration represents final resolution of the narcissistic number question through computation. This finitude contrasts with infinitely many primes, Fibonacci numbers, or nombres abondants. The complete cataloging provides intellectual satisfaction—all narcissistic numbers are known, discoverable, and enumerable. The upper limit (10 digits) emerges from mathematical constraints: for large n, maximum digit-power sum (n×9^n) grows too slowly versus minimum n-digit number (10^(n-1)), making intersection impossible.
Why are there no 2-digit narcissistic numbers?
For 2-digit number with digits a and b (value 10a+b where a≠0), narcissistic property requires: 10a + b = a² + b². Rearranging: 10a + b = a² + b², or 10a - a² = b² - b, or a(10-a) = b(b-1). For valid digits (a from 1-9, b from 0-9), checking all combinations: a=1 gives 9 = b(b-1) (no integer solution); a=2 gives 16 = b(b-1) (no integer solution); continuing through a=9 yields no solutions. Mathematical proof: for 2-digit numbers, divisor a(10-a) produces values 9, 16, 21, 24, 25, 24, 21, 16, 9 for a=1 through 9. None equal b(b-1) for valid digit b. This systematic failure for all 90 two-digit numbers proves non-existence. The absence at the 2-digit level contrasts with 1-digit trivial cases and 3-digit examples, showing narcissistic property's selective appearance.